arctanx的導數怎么做？

在學習微積分的過程中，求導是一個至關重要的環節。對于各種函數，求導的方法有所不同。本文將詳細探討反正切函數arctanx的導數求解過程，從定義、求導步驟、相關公式以及應用等多個維度進行闡述。

一、反正切函數的定義

反正切函數arctanx是三角函數tanx的反函數。在數學上，如果y=tanx，那么x=arctany。反正切函數的值域為(-π/2, π/2)，即第一象限和第四象限的角度。其定義域是全體實數R。

二、求導步驟

1. 設定變量關系

首先，我們設y=arctanx，由此可得x=tany。

2. 對等式兩邊求導

接下來，我們對等式x=tany兩邊同時對x求導。根據鏈式法則和三角函數的導數公式，我們有：

(x)' = (tany)' = sec2y * (y)'

由于x是變量，所以(x)'=1。因此，我們得到：

1 = sec2y * (y)'

3. 求解(y)'

為了求出(y)'，我們需要將sec2y用x表示出來。根據三角函數的基本關系，我們知道：

sec2y = 1 + tan2y

由于x=tany，所以tan2y=x2，代入上式得：

sec2y = 1 + x2

將sec2y的值代入1 = sec2y * (y)'，我們得到：

1 = (1 + x2) * (y)'

解這個方程，我們得到：

(y)' = 1 / (1 + x2)

因此，反正切函數arctanx的導數為1 / (1 + x2)。

三、相關公式

在求導過程中，我們用到了一些基本的導數公式和三角函數的關系式。以下是一些常用的導數公式和三角函數關系式：

常數C的導數為0，即C'=0。

x^n的導數為nx^(n-1)，即(x^n)'=nx^(n-1)。

sinx的導數為cosx，即(sinx)'=cosx。

cosx的導數為-sinx，即(cosx)'=-sinx。

tanx的導數為sec2x，即(tanx)'=sec2x。

secx的導數為tanxsecx，即(secx)'=tanxsecx。

此外，我們還用到了反函數的求導法則。如果函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f'(y)≠0，那么它的反函數y=f?1(x)在區間Ix={x|x=f(y), y∈Iy}內也可導，且[f?1(x)]'=1/f'(y)。

四、應用實例

1. 求解復合函數的導數

有時候，我們需要求解包含arctanx的復合函數的導數。例如，求(arctan(2x))'。

設u=2x，則(arctan(2x))'=(arctan u)' * (u)'。根據鏈式法則和反正切函數的導數公式，我們有：

(arctan u)' = 1 / (1 + u2)

(u)' = 2

代入u=2x，得：

(arctan(2x))' = 1 / (1 + (2x)2) * 2 = 2 / (1 + 4x2)

2. 求解積分

反正切函數的導數在積分中也有重要應用。例如，求解不定積分∫1/(1+x2)dx。

根據微積分基本定理，我們知道這個不定積分的原函數是arctanx，即：

∫1/(1+x2)dx = arctanx + C

其中C是積分常數。

五、注意事項

在求解arctanx的導數時，需要注意以下幾點：

1. 定義域和值域：反正切函數的定義域是全體實數R，值域是(-π/2, π/2)。

2. 鏈式法則：在求解復合函數的導數時，需要用到鏈式法則。

3. 符號問題：在求導過程中，要注意符號的變化。例如，在求(cosx)'時，結果為-sinx，符號發生了改變。

4. 反函數的求導法則：在求解反函數的導數時，需要用到反函數的求導法則。

六、總結

反正切函數arctanx的導數是微積分中的一個重要知識點。通過設定變量關系、對等式兩邊求導、求解導數等步驟，我們可以得到arctanx的導數為1/(1+x2)。在求解過程中，我們需要用到一些基本的導數公式和三角函數的關系式，以及反函數的求導法則。此外，反正切函數的導數在求解復合函數的導數和積分中也有重要應用。

通過本文的詳細闡述，相信讀者已經對arctanx的導數求解過程有了更深入的理解。在實際應用中，我們需要根據具體情況靈活運用這些知識，以解決實際問題。